Это заметка для себя. Чтобы если такая проблема ещё когда-то будет, вспомнить, как её решать.
Периодически имена хостов локальной сети резолвились во внешние (интернетовские) адреса, оказалось на ДНС-сервере в сетевых настройках первым стоял ДНС-сервер провайдера, потом он сам. Поставил самого себя первым, провайдерский убрал вообще. Пересылка только должна быть правильно настроена. Вроде теперь и в локалке всё нормально и интернет работает. И да, провайдерский ДНС на рабочих станциях уже прописывать не нужно. Посмотрим теперь, что дальше будет.